Matematik | Konst

Skor II

Publicerade 4 juli, 2008 Matematik Leave a Comment

För ett par dagar sedan köpte jag ett portabelt målarset från Kreatima med akrylfärger. Idag fick jag idén att måla ett par vita skor från Urban Outfitters. Eftersom det var soligt och varmt ute gick jag ner till stranden, där jag satt och målade. Resultatet:

Skor

Publicerade 30 juni, 2008 Allmänt Leave a Comment

En anledning till att äga fler par skor:

En tavla — ett mål

Publicerade 29 juni, 2008 Konst Leave a Comment

Denna sommar ämnar jag att skapa en tavla.
Tavlans motiv ska vara något sorts landskap och ta stor plats; kunna få betraktaren att känna att denne kan ta ett kliv in i tavlan. Samtidigt blir jag tvungen att lära mig/utveckla tekniker eftersom det blir min första tavla.

En tidig skiss:

IRC-klient med LaTeX-support

Publicerade 29 mars, 2008 Matematik Leave a Comment

Ladda ner Pidgin.
Ladda ner Pidgintex och installera.
Klar!

[II, §3]

Publicerade 26 mars, 2008 Matematik Leave a Comment

Låt $f:G \rightarrow G'$ vara en grupphomomorfism. Låt $H'$ vara en delgrupp av $G'$ . Visa att $f^{-1}(H)$ är en delgrupp av $G$ .

2000.11.14

Publicerade 26 mars, 2008 Konst Leave a Comment

En avbildning av da Vinci’s ”A portrait of an unknown woman”.

[II, §3]

Publicerade 25 mars, 2008 Matematik Leave a Comment

6. Låt $G$ vara en grupp. Om $G$ inte är kommutativ, är $x \mapsto x^{-1}$ en homomorfism? Bevisa ditt antagande.

Bevis. Antag att det är en homomorfism och kalla den $f$ . Vi har då att $f(xy) = f(x)f(y) = x^{-1}y^{-1}$ för något $x, y \in G$ . Men $f(xy) = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$
( $e = xy(xy)^{-1} <=> y^{-1}x^{-1} = (xy)^{-1}$ ).
Vi får alltså att $y^{-1}x^{-1} = x^{-1}y^{-1}$ som är ekvivalent med $e = xyx^{-1}y^{-1}$ och som i sin tur ger $yx = xy$ , en motsägelse.

2.1

Publicerade 22 september, 2007 Matematik 2 kommentarer

2.1 Bevisa att den tomma mängden är en delmängd av varje mängd.

Definition. Låt en borttagning vara en funktion f: A -> A.
Notera att f inte behöver vara surjektiv.

Bevis. Låt oss göra en annorlunda definition av en delmängd: En delmängd av en mängd är någon borttagning av element ur den ursprungliga mängden.
Ex. Om $S = \{a_1, \ldots, a_n\}$ och vi tar bort elementet $a_n$ så har vi kvar $S' = \{a_1, \ldots, a_{n-1}\}$ . Då gäller alltså $S \supset S'$ .
Antag nu att vi tar bort alla element ur en godtycklig mängd $A$ . Kvar finns $\{\}$ , som alltså är en delmängd av $A$ .

Eftersom ovanstående bevis inte är fullständigt:
Bevis. Antag att den tomma mängden inte är en delmängd av $S$ . Det måste då finnas ett element, $x$ , i den tomma mängden som inte finns i $S$ . Men eftersom tomma mängden är just tom, så finns inget sådant element.

1.1, 1.4

Publicerade 26 mars, 2007 Matematik Leave a Comment

1.1. Om $r$ är rationellt ( $r \neq 0$ ) och $x$ är irrationellt, bevisa att $r + x$ och $rx$ är irrationella.

Bevis. Antag, för att få en motsägelse, motsatsen. Vi har då $r + x = s$ för något rationellt tal $s$ . Men detta ger $x = s - r$ och vi har nu att vänsterledet är irrationellt samtidigt som summan (skillnaden) i högerledet av två rationella tal är rationellt och vi har en motsägelse. Beviset för produkten är helt analogt.

1.4 Låt $E$ vara en icke-tom delmängd av en ordnad mängd; antag att $\alpha$ är en undre begränsning till $E$ och att $\beta$ är en övre begränsning till $E$ . Bevisa att $\alpha \leq \beta$ .

Bevis. Antag, för att få en motsägelse, motsatsen. Vi har då att $\alpha > \beta$ . Eftersom $\beta$ är en övre begränsning till $E$ gäller att $\beta \geq x$ för alla $x \in E$ . Det omvända gäller för $\alpha$ . Enligt antagande har vi att $E$ är icke-tom, alltså har vi något $y \in E$ och att $\beta < \alpha \leq y$ . $\beta$ kan därmed inte vara en övre begränsning till $E$ och vi har en motsägelse.